Антон родился и вырос в небольшом городе Алтайского края - Бийске. В детстве играл в футбол, атлетикой увлёкся довольно поздно. Не один год Кулятин состязался с полностью здоровыми спортсменами и даже становился призёром чемпионата России на дистанции 800 метров, после чего участвовал в международных стартах. На дорожке ему довелось тягаться с такими «зубрами», как, например, олимпийский чемпион Афин-2004 Юрий Борзаковский. В 2019 году легкоатлет Кулятин частично лишился зрения и перешёл в паралимпийский спорт. Коронная дистанция для спортсмена - 1,5 километра.
На всероссийских соревнованиях среди спортсменов с нарушением зрения Антона заметил главный тренер по лёгкой атлетике спорта слепых и предложил попробовать выступить на международной арене. В этом же году, в августе Антон принял участие в мировом этапе гран-при в Париже, где занял первое место. С этой победы и началась паралимпийская карьера Антона Кулятина. На чемпионате мира в Дубае Антон завоевывает серебряную медаль - этой победой обеспечивает себе участие в Паралимпийских играх в Токио.
В 2021 году Антон становится победителем мирового этапа Гран-при по легкой атлетике и отбирается на чемпионат Европы по легкой атлетике Международного паралимпийского комитета в Польше, где завоевывает золотую и бронзовую медали, а также устанавливает рекорд Европы в беге на 1500 метров.
31 августа 2021 года на XVI Паралимпийских летних играх в Токио одержал победу. Этого успеха спортсмен добился, выступив на той же беговой дистанции 1500 метров. Тренируется спортсмен под руководством тренера Халухаева Николая Борисовича.